學習泛函分析需要怎樣的數學基礎呀?

一般大學的高數和線代恐怕還不夠，起碼要升級到數學系的數分和高代，如果再學點基本的點集拓撲和實變函數就更好了。如果說數學分析實變函數是泛函的“形”，那么高等代數則是泛函的“魂”。泛函分析將數學中的兩大結構“代數結構”和“拓撲結構”聯系了起來，一方面將有限維的高等代數擴展到了無窮多維，另一方面又是利用代數學的技巧來處理分析學（數學分析，微分方程等）的問題，因此泛函可以看作一門之前所學課程的集大成者（數分、高代、常微分方程、實變函數等），從更高的觀點來理解之前所學的學科。

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如果以后打算繼續(xù)深造的話基本上就是控制理論和模式識別兩個方向。對于控制我只知曉皮毛，但據我淺薄的了解泛函分析已經成了現代控制理論非常重要的基石，掌握得多好都不過分。模式識別（也就是目前大火的人工智能、機器學習方向）其實用不到太多的泛函分析（做理論的當我沒說。。Vapink 的上古神書 Statistical Learning Theory隨便翻一翻就知道了），更多的還是大多數人所說的數學分析、矩陣論、概率統計、優(yōu)化等。當然我認為“函數空間”這一觀點還是非常重要的，將不可數無窮維的函數也看作空間中的一個點，例如數據挖掘比賽中大量使用的GBDT（Gradient Boosting Decision Tree）就用到了函數空間的思想，雖然它只用n個樣本來近似這個函數。