1 專業(yè)簡介
數(shù)學( Mathematics )是研究數(shù)量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數(shù)、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產(chǎn)生。數(shù)學的基本要素是：邏輯和直觀、分析和推理、共性和個性。
1.2 美國數(shù)學專業(yè)常見學位
?PhD
?MA(Master of Arts)
?MS(Master of Science)
大部分院校的數(shù)學學院都會開設 Ph.D.學位，基本在美國前20 的學校開設 Master 項目的不多。
1.3 常見分支
自古以來，數(shù)學一直被廣泛應用在各個不同的領域中，包括科學、工程、醫(yī)學、經(jīng)濟學、金融學等。最近的幾千年里，在不同的國度，數(shù)學都得到了發(fā)展。古埃及人寫下了第一個方程。古希臘人則在許多方面都有貢獻，比如幾何和數(shù)秘術。中國數(shù)學家早就有了負數(shù)的概念?！?”這個數(shù)字則在印度首次被使用。接著在波斯伊斯蘭教的黃金時期，數(shù)學家又跨越了一大步，書寫了第一部代數(shù)學的書籍。在文藝復興時期，數(shù)學與科學則共同欣榮發(fā)展。
如今，隨之社會的發(fā)展和科學的進步，數(shù)學開始逐漸變得專業(yè)化，現(xiàn)代數(shù)學可以大致被分為兩個領域：純粹數(shù)學(研究數(shù)學本身)和應用數(shù)學(用以解決更實際的問題)。下面我們就來詳細介紹一下這兩個大的分支：
1.3.1 純粹數(shù)學(Pure Mathematics)
概念：
純粹數(shù)學也叫基礎數(shù)學，是一門專門研究數(shù)學本身，不以實際應用為目的的學問，研究從客觀世界中抽象出來的數(shù)學規(guī)律的內在聯(lián)系，也可以說是研究數(shù)學本身的規(guī)律。相對于應用數(shù)學而言，和其它一些不以應用為目的的理論科學(例如理論物理、理論化學)有密切的關系。純粹數(shù)學以其嚴格、抽象和美麗著稱。自 18 世紀以來，純粹數(shù)學成為數(shù)學研究的一個特定種類，并隨著探險、天文學、物理學、工程學等的發(fā)展而發(fā)展。
基礎數(shù)學是對數(shù)學結構本身的內在規(guī)律進行研究，而并不要求同解決其他學科的實際問題有直接的聯(lián)系，只是以純粹形式研究事物的數(shù)量關系和空間形式。基礎數(shù)學包含的分支有： 代數(shù)學、數(shù)論、幾何學、拓撲學、分析學、函數(shù)論、組合數(shù)學等。
基礎數(shù)學是數(shù)學科學的核心。它不僅是其它應用性數(shù)學分支的基礎，而且也為自然科學、技術科學及社會科學提供必不可少的語言、工具和方法。研究基本的類型和過程如何轉化成抽象的概念陳述，包括解析、代數(shù)和幾何數(shù)學的抽象概念等, 是所有學校數(shù)學系主要的研究方向。微分幾何、偏微分方程等都屬于基礎數(shù)學范疇。人們耳熟能詳?shù)年惥皾欁C明“1+1=2”哥德巴赫猜想的故事就發(fā)生在這個領域。
純粹數(shù)學的研究分支：
1)代數(shù)學(Algebra)
數(shù)學中最重要的、基礎的分支之一。代數(shù)學的歷史悠久，它隨著人類生活的提高，生產(chǎn)技術的進步，科學和數(shù)學本身的需要而產(chǎn)生和發(fā)展。在這個過程中，代數(shù)學的研究對象和研究方法發(fā)生了重大的變化。代數(shù)學可分為初等代數(shù)學和抽象代數(shù)學兩部分。初等代數(shù)學是更古老的算術的推廣和發(fā)展，而抽象代數(shù)學則是在初等代數(shù)學的基礎上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。初等代數(shù)學是指 19 世紀上半葉以前的方程理論，主要研究某一方程(組)是否可解，怎樣求出方程所有的根(包括近似根)以及方程的根所具有的各種性質等。代數(shù)之前已有算術，算術是解決日常生活中的各種計算問題，即整數(shù)與分數(shù)的四則運算。代數(shù)與算術不同，主要區(qū)別在于代數(shù)要引入未知數(shù)，根據(jù)問題的條件列方程，然后解方程求未知數(shù)的值。
2)數(shù)論 (Number theory)
數(shù)論是純粹數(shù)學的分支之一，主要研究整數(shù)的性質。整數(shù)可以是方程式的解(丟番圖方程)。有些解析函數(shù)(像黎曼 ζ 函數(shù))中包括了一些整數(shù)、質數(shù)的性質，透過這些函數(shù)也可以了解一些數(shù)論的問題。透過數(shù)論也可以建立實數(shù)和有理數(shù)之間的關系，并且用有理數(shù)來逼近實數(shù)(丟番圖逼近)。按研究方法來看，數(shù)論大致可分為初等數(shù)論和高等數(shù)論。初等數(shù)論是用初等方法研究的數(shù)論，它的研究方法本質上就是利用整數(shù)環(huán)的整除性質，主要包括整除理論、同余理論、連分數(shù)理論。高等數(shù)論則包括了更為深刻的數(shù)學研究工具。它大致包括代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、計算數(shù)論等等
3) 幾何學(Geometry)
幾何學，英文 Geometry 一詞,是從希臘語演變而來的,其原意是土地測量、后被我國明朝的徐光啟翻譯成"幾何學"。依據(jù)大量實證研究,創(chuàng)造幾何學的是埃及人,幾何學因土地測量而產(chǎn)生。幾何是研究形的科學，人的視覺思維為主導，培養(yǎng)人的觀察能力、空間想象能力和洞察力。幾何的發(fā)展首先是歐幾里得的歐氏幾何，其次是19 世紀上半葉非歐幾何的誕生,再次是射影幾何的繁榮，最后是幾何學的統(tǒng)一。
幾何學的分支包括：平面幾何，立體幾何，非歐幾何，羅氏幾何，黎曼幾何，解析幾何，射影幾何，仿射幾何，代數(shù)幾何，微分幾何，計算幾何，拓撲學等。
這里值得一提的是拓撲學，拓撲學是研究幾何圖形或空間在連續(xù)改變形狀后還能保持不變的一些性質的學科。它只考慮物體間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小。在拓撲學里， 重要的拓撲性質包括連通性與緊致性
拓撲英文名是 Topology，直譯是地志學，最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。拓撲學是由幾何學與集合論里發(fā)展出來的學科，研究空間、維度與變換等概念。
4) 分析學(Analysis)
分析學，是 17 世紀以來在微積分學發(fā)展的基礎上形成的數(shù)學一大分支。它曾和幾何學、代數(shù)學并列為數(shù)學中的三個主要分支，并從18世紀以來相對獨立地得到很大的發(fā)展，曾經(jīng)被認為是數(shù)學的一個最大分支
它是以微積分方法為基本工具，以函數(shù)為主要研究對象的眾多數(shù)學經(jīng)典分支及其現(xiàn)代拓展的統(tǒng)稱，簡稱分析。
狹義的分析學，指數(shù)學分析，以微分學、積分學、級數(shù)論、實數(shù)理論為其基本內容。廣義的分析學，極限的概念不僅是微積分的核心，也是許多其他學科的重要思想。其中微積分是近代數(shù)學的基礎，從它已產(chǎn)生許多新的數(shù)學分支，如微分方程、函數(shù)論、變分法、泛函分析等，統(tǒng)稱為廣義的分析學
5) 函數(shù)論(Function Theory)
函數(shù)論是實函數(shù)論和復變函數(shù)論的總稱。實函數(shù)論是研究函數(shù)的連續(xù)性、可微性和可積性的理論;復變函數(shù)論是研究復變數(shù)的解析函數(shù)性質的理論。以實數(shù)作為自變量的函數(shù)就做實變函數(shù)，以實變函數(shù)作為研究對象的數(shù)學分支就叫做實變函數(shù)論。它是微積分學的進一步發(fā)展，它的基礎是點集論。以復數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復變函數(shù)，而與之相關的理論就是復變函數(shù)論。解析函數(shù)是復變函數(shù)中一類具有解析性質的函數(shù)，復變函數(shù)論主要就研究復數(shù)域上的解析函數(shù)，因此通常也稱復變函數(shù)論為解析函數(shù)論。
函數(shù)論主要包括：實變函數(shù)論，單復變函數(shù)論，多復變函數(shù)論，函數(shù)逼近論，調和分析， 復流形，特殊函數(shù)論和函數(shù)論其他學科。
6) 組合數(shù)學(Combinatorial mathematics)
組合數(shù)學又稱為離散數(shù)學。廣義的組合數(shù)學就是離散數(shù)學，狹義的組合數(shù)學是離散數(shù)學除圖論、代數(shù)結構、數(shù)理邏輯等的部分。但這只是不同學者在叫法上的區(qū)別?？傊?，組合數(shù)學是一門研究離散對象的科學。隨著計算機科學的日益發(fā)展，組合數(shù)學的重要性也日漸凸顯，因為計算機科學的核心內容是使用算法處理離散數(shù)據(jù)。狹義的組合數(shù)學主要研究滿足一定條件的組態(tài)(也稱組合模型)的存在、計數(shù)以及構造等方面的問題。組合數(shù)學的主要內容有組合計數(shù)、組合設計、組合矩陣、組合優(yōu)化(zui佳組合)等。
1.3.2 應用數(shù)學(Applied Mathematics )
概念：
應用目的明確的數(shù)學理論和方法的總稱，研究如何應用數(shù)學知識到其他范疇(尤其是科學)的數(shù)學分枝。部分學校作為數(shù)學系單獨的研究方向。
應用數(shù)學的發(fā)展是以科學為依據(jù)，將純數(shù)學中的結論擴展到其他科學中。應用數(shù)學包含的分支有：概率與統(tǒng)計、計算數(shù)學、物理數(shù)學，經(jīng)濟和金融數(shù)學、運籌優(yōu)化、控制論等。更具體的來?說，它包括微分方程、向量分析、矩陣、拉普拉斯變換、傅里葉變換、復變分析、數(shù)值方法、概率論、數(shù)理統(tǒng)計、運籌學、博弈論、控制理論、組合數(shù)學、信息論等許多數(shù)學分支，也包括從各種應用領域中提出的數(shù)學問題的研究。應用數(shù)學涉及的領域很廣泛，基本在現(xiàn)在的科學和工程各個領域都在 extensively & intensively 應用。
Wiki 中的簡介：“圖論應用在網(wǎng)絡分析，拓撲學在電路分析上的應用，群論在結晶學上的應用，微分幾何在規(guī)范場上的應用，自動控制理論在計算上的應用，黎曼幾何應用于相對論，數(shù)理邏輯應用于計算機，最小二乘法應用于飛機起降時自動控制，利用數(shù)字合成計算機輔助的X?射線斷層成像技術(1979 年數(shù)學家獲得諾貝爾醫(yī)學獎)。數(shù)論應用在密碼學，博弈論、概率論、統(tǒng)計學應用在經(jīng)濟學，線性規(guī)劃用于生產(chǎn)安排調度，都可見數(shù)學在不同范疇的應用。”
最常見的應用包括兩個大的方向：一是計算機，隨著計算機的飛速發(fā)展，需要一大批懂數(shù)學的軟件工程師做相應的數(shù)據(jù)庫的開發(fā);二是經(jīng)濟學，現(xiàn)在的經(jīng)濟學有很多都需要用非常專業(yè)的數(shù)學進行分析，應用數(shù)學有很多相關課程本身設計就是以經(jīng)濟學實例為基礎的。應用數(shù)學與純數(shù)學最大的區(qū)別就是與實際的結合：設法解決自然現(xiàn)象與社會發(fā)展提出的數(shù)學問題，并將其探討結果應用回到自然界與社會中去。
應用數(shù)學的研究分支：
1)計算數(shù)學 (Computational Mathematics)
計算數(shù)學是伴隨著計算機的出現(xiàn)而迅猛發(fā)展起來的新學科，涉及計算物理、計算化學、計算力學、計算材料學、環(huán)境科學、地球科學、金融保險等眾多交叉學科。它運用現(xiàn)代數(shù)學理論與方法解決各類科學與工程問題，分析和提高計算的可靠性、有效性和精確性，研究各類數(shù)值軟件的開發(fā)技術。
既突出了解決信息、電子與計算機領域中的某些核心理論技術問題，又注意到從這些高新技術中抽象出新的數(shù)學理論;在保持應用數(shù)學與計算數(shù)學主體研究方向優(yōu)勢的基礎上，重視并加強信息科學的數(shù)學基礎、數(shù)據(jù)分析與統(tǒng)計計算、科學計算、現(xiàn)代優(yōu)化、電子系統(tǒng)的數(shù)值模擬、生物系統(tǒng)的數(shù)學建模等研究。
專業(yè)背景：要求考生具備基礎數(shù)學、應用數(shù)學、信息技術、計算機科學、數(shù)據(jù)處理和系統(tǒng)分析，工程學、以及數(shù)字圖像等學科知識。
研究方向：工程問題數(shù)值方法、發(fā)展方程與動力系統(tǒng)的數(shù)值方法、數(shù)值逼近與數(shù)字圖像處
理、計算機圖形學與計算機軟件、光學與電磁學中的數(shù)學問題等。
2) 統(tǒng)計學 (Statistics)
統(tǒng)計學是應用數(shù)學的一個分支，主要通過利用概率論建立數(shù)學模型，收集所觀察系統(tǒng)的數(shù)據(jù)，進行量化分析、總結，做出推斷和預測，為相關決策提供依據(jù)和參考。它被廣泛的應用在各門學科之上，從物理和社會科學到人文科學，甚至被用來工商業(yè)及政府的情報決策之上。隨著數(shù)字化的進程不斷加快，人們越來越多地希望能夠從大量的數(shù)據(jù)中總結出一些經(jīng)驗規(guī)律從而為后面的決策提供一些依據(jù)。統(tǒng)計學專業(yè)不是僅僅像其表面的文字表示，只是統(tǒng)計數(shù)字，而是包含了調查、收集、分析、預測等。應用的范圍十分廣泛。
統(tǒng)計學的主分支包括：統(tǒng)計學史，理論統(tǒng)計學，統(tǒng)計調查分析理論，統(tǒng)計核算理論，統(tǒng)計監(jiān)督理論，統(tǒng)計預測理論，統(tǒng)計邏輯學，統(tǒng)計法學，描述統(tǒng)計學，推斷統(tǒng)計學，經(jīng)濟統(tǒng)計學，宏觀經(jīng)濟統(tǒng)計學，微觀經(jīng)濟統(tǒng)計學，管理統(tǒng)計學，科學技術統(tǒng)計學，農(nóng)村經(jīng)濟調查，社會統(tǒng)計學， 教育統(tǒng)計學，文化與體育統(tǒng)計學，衛(wèi)生統(tǒng)計學，司法統(tǒng)計學，會福利與社會保障統(tǒng)計學，生活質量統(tǒng)計學，人口統(tǒng)計學，環(huán)境與生態(tài)統(tǒng)計學，自然資源統(tǒng)計學，環(huán)境統(tǒng)計學，生態(tài)平衡統(tǒng)計學，國際統(tǒng)計學，國際標準分類統(tǒng)計學，國際核算體系與方法論體系，國際比較統(tǒng)計學。
統(tǒng)計學是一門很古老的科學，一般認為其學理研究始于古希臘的亞里斯多德時代，迄今已有兩千三百多年的歷史。它起源于研究社會經(jīng)濟問題，在兩千多年的發(fā)展過程中，統(tǒng)計學至少經(jīng)歷了“城邦政情”、“政治算數(shù)”和“統(tǒng)計分析科學”三個發(fā)展階段。所謂“數(shù)理統(tǒng)計”并非獨立于統(tǒng)計學的新學科，確切地說，它是統(tǒng)計學在第三個發(fā)展階段所形成的所有收集和分析數(shù)據(jù)的新方法的一個綜合性名詞。概率論是數(shù)理統(tǒng)計方法的理論基礎，但是它不屬于統(tǒng)計學的范疇，而是屬于數(shù)學的范疇
3) 概率論 (Probability Theory)
概率論是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學分支。隨機現(xiàn)象是相對于決定性現(xiàn)象而言的。在一定條件下必然發(fā)生某一結果的現(xiàn)象稱為決定性現(xiàn)象。例如在標準大氣壓下，純水加熱到100℃時水必然會沸騰等。隨機現(xiàn)象則是指在基本條件不變的情況下，每一次試驗或觀察前，不能肯定會出現(xiàn)哪種結果，呈現(xiàn)出偶然性。例如，擲一硬幣，可能出現(xiàn)正面或反面。
隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗。隨機試驗的每一可能結果稱為一個基本事件，一個或一組基本事件統(tǒng)稱隨機事件，或簡稱事件。典型的隨機試驗有擲骰子、扔硬幣、抽撲克牌以及輪盤游戲等。事件的概率是衡量該事件發(fā)生的可能性的量度。雖然在一次隨機試驗中某個事件的發(fā)生是帶有偶然性的，但那些可在相同條件下大量重復的隨機試驗卻往往呈現(xiàn)出明顯的數(shù)量規(guī)律
概率論主要包括：幾何概率，概率分布，極限理論，隨機過程，馬爾可夫過程，隨機分析，鞅論，應用概率論，概率論其他學科。概率論是一門研究事情發(fā)生的可能性的學問，但是最 初 概 率 論 的 起 源 與 賭 博 問 題 有 關 。 16 世 紀 ， 意 大 利 的 學 者 吉 羅 拉 莫 ·卡爾達諾(Girolamo Cardano)開始研究擲骰子等賭博中的一些簡單問題。概率與統(tǒng)計的一些概念和簡單的方法，早期主要用于賭博和人口統(tǒng)計模型。隨著人類的社會實踐，人們需要了解各種不確定現(xiàn)象中隱含的必然規(guī)律性，并用數(shù)學方法研究各種結果出現(xiàn)的可能性大小，從而產(chǎn)生了概率論，并使之逐步發(fā)展成一門嚴謹?shù)膶W科。概率與統(tǒng)計的方法日益滲透到各個領域，并廣泛應用于自然科學、經(jīng)濟學、醫(yī)學、金融保險甚至人文科學中。
4) 數(shù)理統(tǒng)計
數(shù)理統(tǒng)計是以概率論為基礎，研究社會和自然界中大量隨機現(xiàn)象數(shù)量變化基本規(guī)律的一種方法。它以隨機現(xiàn)象的觀察試驗取得資料作為出發(fā)點，以概率論為理論基礎來研究隨機現(xiàn)象。根據(jù)資料為隨機現(xiàn)象選擇數(shù)學模型，且利用數(shù)學資料來驗證數(shù)學模型是否合適，在合適的基礎上再研究它的特點、性質和規(guī)律性。數(shù)理統(tǒng)計是伴隨著概率論的發(fā)展而發(fā)展起來的一個數(shù)學分支，研究如何有效的由集、整理和分析受隨機因素影響的數(shù)據(jù)，并對所考慮的問題作出推斷或預測，為采取某種決策和行動提供依據(jù)或建議。
數(shù)理統(tǒng)計在自然科學、工程技術、管理科學及人文社會科學中得到越來越廣泛和深刻的應用，其研究的內容也隨著科學技術和政治、經(jīng)濟與社會的不斷發(fā)展而逐步擴大，但概括地說可以分為兩大類：⑴試驗的設計和研究，即研究如何更合理更有效地獲得觀察資料的方法;⑵統(tǒng)計推斷，即研究如何利用一定的資料對所關心的問題作出盡可能精確可靠的結論，當然這兩部分內容有著密切的聯(lián)系，在實際應用中更應前后兼顧。但按本專業(yè)的總體設計，我們的數(shù)理統(tǒng)計課程只討論統(tǒng)計推斷。數(shù)理統(tǒng)計以概率論為基礎，根據(jù)試驗或觀察得到的數(shù)據(jù)，來研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學科。本課程的目的是讓學生了解統(tǒng)計推斷檢驗等方法并能夠應用這些方法對研究對象的客觀規(guī)律性作出種種合理的估計和判斷。掌握總體參數(shù)的點估計和區(qū)間估計。掌握假設檢驗的基本方法與技巧。理解平方差分析及回歸分析的原理，并能運用其方法和技巧進行統(tǒng)計推斷。
數(shù)理統(tǒng)計的主要內容有：參數(shù)估計，假設檢驗，相關分析，試驗設計，非參數(shù)統(tǒng)計，過程統(tǒng)計，抽樣理論，假設檢驗，方差分析，相關回歸分析，統(tǒng)計推斷，貝葉斯統(tǒng)計，試驗設計，多元分析，統(tǒng)計判決理論，時間序列分析等。
5)金融數(shù)學
金融數(shù)學又稱分析金融學、數(shù)理金融學、數(shù)學金融學，是20世紀80年代末、90年代初興起的數(shù)學與金融學的交叉學科。金融數(shù)學主要運用現(xiàn)代數(shù)學理論和方法(如:隨機分析、隨機最優(yōu)控制、組合分析、非線性分析、多元統(tǒng)計分析、數(shù)學規(guī)劃、現(xiàn)代計算方法等)對金融(除銀行功能之外,還包括投資、債券、基金、股票、期貨、期權等金融工具和市場)的理論和實踐進行數(shù)量的分析研究。其核心問題是不確定條件下的最優(yōu)投資策略的選擇理論和資產(chǎn)的定價理論。套利,最優(yōu)和均衡是其中三個主要概念。近二十幾年來，金融數(shù)學不僅對金融工具的創(chuàng)新和對金融市場的有效運作產(chǎn)生直接的影響，而且對公司的投資決策和對研究開發(fā)項目的評估(如實物期權)以及在金融機構的風險管理中得到廣泛應用。
在現(xiàn)代金融數(shù)學理論中,各種各樣的金融經(jīng)濟學模型占據(jù)著中心地位。其中至今仍有重大影響的成果有:有效率的市場理論、證券組合理論、資本資產(chǎn)定價模型、套利定價理論、期權定價方程和資產(chǎn)結構理論等。
6) 數(shù)學物理
數(shù)學物理以研究物理問題為目標的數(shù)學理論和數(shù)學方法。它探討物理現(xiàn)象的數(shù)學模型，即尋求物理現(xiàn)象的數(shù)學描述，并對模型已確立的物理問題研究其數(shù)學解法，然后根據(jù)解答來詮釋和預見物理現(xiàn)象，或者根據(jù)物理事實來修正原有模型?！皵?shù)理”也叫“數(shù)學物理”，是數(shù)學和物理學的交叉領域，指應用特定的數(shù)學方法來研究物理學的某些部分。對應的數(shù)學方法也叫數(shù)學物理方法。
隨著電子計算機的發(fā)展，數(shù)學物理中的許多問題可以通過數(shù)值計算來解決，由此發(fā)展起來的“計算力學”和“計算物理”都發(fā)揮著越來越大的作用。計算機直接模擬物理模型也成為重要的方法。此外各種漸近方法也繼續(xù)獲得發(fā)展?？茖W的發(fā)展表明，數(shù)學物理的內容將越來越豐富，解決物理問題的能力也越來越強。其他各門科學，如化學、生物學、地學、經(jīng)濟學等也廣泛地利用數(shù)學模型來進行研究。數(shù)學物理中的許多方法和結果對這些研究發(fā)揮了很好的作用。在工程科學中，處處需要精確地求解物理問題，所以數(shù)學物理對于技術進步也有非常重要的意義。此外，數(shù)學物理的研究對數(shù)學有很大的促進作用。它是產(chǎn)生數(shù)學的新思想、新對象、新問題以及新方法的一個源泉。
美國留學 數(shù)學專業(yè)